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विकल्प

जानकारी
दशमलव से भिन्न परिवर्तक
गणित में, भिन्न को दो तरह से लिखा जाता है: साधारण और दशमलव। पहले में एक क्षैतिज विभाजक रेखा का उपयोग शामिल है। रेखा के ऊपर भाज्य है, और रेखा के नीचे भाजक है। इस तरह के अंश 1/2, 3/7, 10/16 और इसी तरह दिखते हैं।
दूसरे प्रकार का अंश दशमलव है, जिसे लोअरकेस में लिखा जाता है, पूर्णांक मान को अल्पविराम (या डॉट) के साथ भिन्नात्मक मान से अलग करता है: 0.1; 1.3; 8.7। ऐसे अंशों में, भाजक (हर) हमेशा संख्या 10n के बराबर होता है, जहाँ n एक पूर्णांक प्राकृतिक संख्या है। यह 102 (100), 103 (1000), 104 (10000) और इसी तरह अनंत तक हो सकता है। तदनुसार, कोई भी साधारण अंश, जिसके हर में 10n है, को दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है: 2/10 = 0.2; 5/100 = 0.05।
दशमलव गुण
दशमलव अंश की मुख्य संपत्ति दाईं ओर अंतहीन "जोड़" शून्य की संभावना है। यानी 0.5 = 0.50 = 0.500 = 0.500000। इससे अंश का मान नहीं बदलता है, जो उन संख्याओं के साथ संचालन को सरल करता है जिनमें दशमलव स्थानों की भिन्न संख्या होती है। इसलिए, संख्या 0.765 को 0.8 से घटाने के लिए, आपको पहली संख्या में दो शून्य जोड़ने होंगे। हम पाते हैं: 0.800 - 0.765 = 0.035। हम दशमलव अंशों के गुणों का भी उल्लेख करते हैं:
दशमलव शून्य है यदि अंश/लाभांश शून्य है।
दशमलव संभव नहीं है यदि भाजक/भाजक शून्य है।
यदि a ⋅ d = b ⋅ c है तो भिन्न a/b और c/d बराबर हैं।
ये नियम दशमलव सहित सभी भिन्नों पर लागू होते हैं, जिन्हें साधारण भिन्नों के रूप में दर्शाया जा सकता है। कितने दशमलव स्थानों के आधार पर पहले वाले का नाम बदलता है।
दशमलव में अंतिम (गैर-कम करने योग्य) अंक शून्य के अलावा कोई भी अंतिम अंक होता है। इस प्रकार, संख्या 0.78900 को घटाकर 0.789 किया जा सकता है, लेकिन संख्या 0.00789 नहीं हो सकती। साथ ही, पूर्व को हमेशा 789/1000 और बाद वाले को 789/100000 के रूप में दर्शाया जा सकता है।
उत्पत्ति और विकास का इतिहास
दशमलव रूप में दर्शाई जाने वाली दशमलव संख्याएँ हमारे युग से पहले ही एशिया में ज्ञात थीं। उदाहरण के लिए, दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में प्राचीन चीन में, उपायों की एक प्रणाली थी जिसमें संख्याओं को पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग के रूप में दर्शाया गया था। दूसरे को पहले से अल्पविराम द्वारा अलग किया गया था। प्रत्येक दशमलव क्रम का अपना नाम था, हमारे "दसवें", "सौवें", "हजारवें" के अनुरूप।
उदाहरण के लिए, प्राचीन चीनी विज्ञान के अनुसार संख्या 2.135436 को "दो ची, एक क्यून, तीन शेयर, पांच ऑर्डिनल, चार बाल, तीन बेहतरीन और छह मकड़ी के जाले" कहा जाएगा। इसके बाद, चीनी गणितज्ञ ज़ू चोंगज़ी ने इस प्रणाली को अंतिम रूप दिया और इकाई "ची" के बजाय "झांग" पेश किया, जो "10 ची" के बराबर था। आदेशों के नाम स्थानांतरित हो गए, और 5 वीं शताब्दी से, दशमलव संख्या चीन में "झांग" (एक पूर्णांक मान) के साथ शुरू हुई। और अल्पविराम के बाद "ची", "कुन" और इतने पर।
15वीं शताब्दी से मध्य एशिया में दशमलव अंशों का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा। उन्हें समरकंद के वैज्ञानिक गियास-अद-दीन जमशेद इब्न मसूद अल-काशी, कमांडर तामेरलेन के पोते द्वारा प्रचलन में लाया गया था। अपनी पुस्तक द की ऑफ अरिथमेटिक में, अल-काशी ने दशमलव अंशों के गुणों का विस्तार से वर्णन किया है, लेकिन उन्हें अलग तरीके से निरूपित किया है। पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग करने वाले कोई अल्पविराम नहीं थे, लेकिन एक लंबवत रेखा थी। ऐसी संख्याओं को लिखने का दूसरा विकल्प बहुरंगी स्याही है। पूर्णांक भाग काले रंग में लिखा गया था, और भिन्नात्मक भाग लाल रंग में लिखा गया था।
150 वर्षों के बाद, 1548 में फ्लेमिश इंजीनियर साइमन स्टीविन द्वारा यूरोप में दशमलव अंशों की "फिर से खोज" की गई। और उनका पहला यूरोपीय प्रकाशन 1579 में पेरिस में प्रकाशित फ्रांसीसी वैज्ञानिक फ्रेंकोइस वीटा द्वारा "गणितीय कैनन" था। उपायों की नई प्रणाली एक सफल विकल्प बन गई और इससे पहले की सेक्सेजिमल प्रणाली को बदलना शुरू कर दिया, जिसका व्यापक रूप से खगोल विज्ञान, त्रिकोणमिति और अन्य विज्ञानों में उपयोग किया गया था। उस समय तक, दशमलव अंश ने अपना अंतिम रूप (अल्पविराम के साथ) प्राप्त नहीं किया था। इसके आंशिक भाग को बारी-बारी से छोटे प्रिंट में हाइलाइट किया गया, फिर एक अलग रंग में, फिर अंडरलाइन किया गया।
यदि XIV-XVI सदियों में दशमलव अंश ने एक द्वितीयक (लागू) कार्य किया और केवल अत्यधिक विशिष्ट गणनाओं में उपयोग किया गया, तो XVII सदी से शुरू होकर यह मुख्य बन गया, और लगभग पूरी तरह से सेक्सजेसिमल को बदल दिया। इसका कारण तकनीकी प्रगति थी, जिसके लिए अधिक से अधिक जटिल और सटीक गणनाओं की आवश्यकता थी। दशमलव अंश ने न केवल उन्हें सरल किया, बल्कि उन्हें त्वरित भी किया, जिससे आप एक कॉलम में जटिल संख्याओं के गुणन और विभाजन की गणना कर सकते हैं। गणित और इंजीनियरिंग से, दशमलव प्रणाली धीरे-धीरे कृषि और उद्योग में फैल गई। 19वीं शताब्दी तक, विभाजक का उपयोग करते हुए, आयतन, भार, लंबाई (और अन्य माप) को आमतौर पर पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के रूप में व्यक्त किया जाता था। एशियाई देशों और रूस में यह एक अल्पविराम है, और पश्चिमी देशों में यह एक अवधि है।
संक्षेप में, हम कह सकते हैं कि दशमलव अंश ने इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। इसकी सरलता के कारण, इसने बाइनरी गणनाओं को महत्वपूर्ण रूप से त्वरित किया, जिसके लिए बहुत अधिक कंप्यूटिंग शक्ति की आवश्यकता होगी यदि हम सेक्सजेसिमल प्रणाली का उपयोग करना जारी रखते हैं, और इससे भी अधिक - सामान्य अंश।
सहायता
दशमलव कनवर्टर के लिए अंश
आज, दशमलव सबसे आम है, और Microsoft Excel, लेखा अनुप्रयोगों, और इसी तरह सहित, अंतर्निहित लागत वाले सभी कार्यक्रमों में डिफ़ॉल्ट रूप से उपयोग किया जाता है। साधारण अंशों के विपरीत, जिन्हें a / b के रूप में लिखा जाता है, दशमलव को रेखा पर लिखा जाता है: 0.43; 2.75। अल्पविराम से पहले का मान एक पूर्णांक है, और अल्पविराम के बाद एक अंश है। मौजूदा अंकगणितीय नियमों का उपयोग करके, आप दशमलव भावों को प्रतिशत में, सामान्य भिन्नों में, प्राकृतिक और मिश्रित संख्याओं में आसानी से बदल सकते हैं।
दशमलवों को बदलना
प्रतिशत में बदलें
यदि आप एक को 100% के बराबर करते हैं, तो 1 और 0 के बीच कोई भी भिन्नात्मक संख्या प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जा सकती है। इसके लिए, एक सरल सूत्र का उपयोग किया जाता है: a = b ⋅ 100%, जहाँ a वांछित प्रतिशत है, और b एक भिन्नात्मक दशमलव संख्या है। तदनुसार, "रिवर्स" अनुवाद (प्रतिशत से भिन्न) करने के लिए, आपको सूत्र b = a / 100% का उपयोग करने की आवश्यकता है।
उदाहरण के लिए, दशमलव संख्या 0.17 पर विचार करें। यह एक इकाई का कितना प्रतिशत है? हम मानते हैं: a = 0.17 ⋅ 100% = 17%। यहां सब कुछ स्पष्ट है, और वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए, यह केवल अल्पविराम को परिमाण के दो क्रमों को "स्थानांतरित" करने और "%" चिह्न असाइन करने के लिए पर्याप्त है। और उन संख्याओं को कैसे परिवर्तित करें जिनमें दो से अधिक दशमलव स्थान हैं? समाधान एल्गोरिथ्म समान है। उदाहरण के लिए, संख्या 0.7854 के मामले में, हम अल्पविराम को परिमाण के दो आदेशों को दाईं ओर ले जाते हैं और 78.54% प्राप्त करते हैं। यदि आपको पूर्णांक प्रतिशत मान की आवश्यकता है, तो परिणाम को गोल करें और 79% प्राप्त करें।
आप साधारण भिन्नों को भी परिवर्तित कर सकते हैं, पहले उन्हें दशमलव में परिवर्तित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, अंश 2/5 को 0.4 के रूप में दर्शाया जा सकता है; फिर 100% से गुणा करें और उत्तर प्राप्त करें - 40%। वही अंशों पर लागू होता है, जिसकी गणना न केवल एक भिन्नात्मक, बल्कि एक पूर्णांक मान भी देती है। उदाहरण के लिए, 7/6 को 1.17 के रूप में और इसलिए 117% के रूप में दर्शाया जा सकता है।
मिश्रित संख्याओं में बदलें
दशमलव अंशों में, शेष को दशमलव बिंदु के बाद एक रेखा पर लिखा जाता है, और मिश्रित अंशों में, इसे एक साधारण अंश के रूप में लिखा जाता है, जो पूरे मान से अलग होता है। उदाहरण के लिए, 0.667 एक दशमलव और 5 6/7 एक मिश्रित भिन्न है। पिछले 5 में एक पूर्णांक मान है, और 6/7 एक भिन्नात्मक (दशमलव नहीं) है। इन दो प्रकार की संख्याओं को एक साधारण गणना एल्गोरिद्म का उपयोग करके एक दूसरे में बदला जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आइए संख्या 6.2 लें। यह "छह पूरे, दो दसवें" जैसा पढ़ता है, और सही उत्तर पहले से ही शीर्षक में है। हम पूरे भाग को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और भिन्नात्मक "हम जैसा सुनते हैं वैसा लिखते हैं" - 6 2/10। अंकगणितीय नियम आपको अंश और हर को कम करने की अनुमति देते हैं, इसलिए हमें - 6 1/5 मिलता है। यह दशमलव संख्या 6.2 को मिश्रित में बदलने का परिणाम है।
भिन्नों में बदलें
किसी भी दशमलव संख्या (दशमलव स्थानों के साथ) को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, इसे एक से विभाजित करना और a/1 जैसी अभिव्यक्ति प्राप्त करना पर्याप्त है। उसके बाद, हम अंश को एक पूर्णांक मान पर लाते हैं, इसे 10 से गुणा करते हैं जब तक कि अंतिम अंक शून्य के अलावा कोई संख्या न हो। इस मामले में, भाजक को अंश के समान दसियों की संख्या से गुणा किया जाता है।
उदाहरण के लिए, संख्या 0.458 को एक सामान्य अंश में बदलने के लिए, हम इसे 0.458/1 के रूप में दर्शाते हैं और लाभांश और भाजक को 1000 से गुणा करते हैं। परिणामी 458/1000 को 2 से घटाया जाता है और हमें 229/500 मिलता है। सरल संख्याओं के मामले में, परिणाम अभी भी स्पष्ट है: 0.35 = 0.35/1 = 35/100 = 7/20।
दशमलव संचालन
दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक मानों वाली संख्याओं को न केवल एक दूसरे से (एक स्तंभ में) विभाजित और गुणा किया जा सकता है, बल्कि प्राकृतिक संख्याओं और साधारण अंशों द्वारा भी। उदाहरण के लिए, एक दशमलव को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको इसके द्वारा पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग गुणा करना होगा। अर्थात्, - 5.2 ⋅ 3 के मामले में, हम वैकल्पिक रूप से 5 के पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक 2 को 3 से गुणा करते हैं, हमें - 15.6 मिलता है। वही विभाजन के लिए जाता है: 10.5 / 5 = 2.1।
दशमलव संख्याओं को भिन्नों से विभाजित करना और गुणा करना थोड़ा अधिक कठिन है। लेकिन ये ऑपरेशन अभी भी स्कूल अंकगणित से आगे नहीं जाते हैं। इसलिए, एक दशमलव संख्या को एक साधारण भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले को एक प्राकृतिक भिन्न के रूप में भी निरूपित करना होगा। उदाहरण के लिए, 0.25 / (3/4) की गणना करने के लिए, यह अभिव्यक्ति को (25/100) / (3/4) में बदलने के लिए पर्याप्त है। अंकगणित के नियमों के अनुसार, हम विपरीत अंश और हर को एक साथ गुणा करते हैं: 25 ⋅ 4 / 100 ⋅ 3 और हमें मिलता है: 100 / 300 या 1/3।
ऐसी संख्याओं का गुणा करना और भी आसान है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (2/5) ⋅ 0.8 लें; रूपांतरण करें: (2/5) ⋅ (8/10), कम करें: (2/5) ⋅ (4/5) और अंश और हर को एक साथ गुणा करें: (2 ⋅ 4)/(5 ⋅ 5) = 8/25। दशमलव रूप में, इस अंश को 0.32 के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
ये उदाहरण अभाज्य संख्याओं के लिए अच्छी तरह से काम करते हैं, लेकिन जब सटीक गणना के लिए आवश्यक दर्जनों दशमलव स्थानों वाली संख्याओं की बात आती है, तो रूपांतरण बहुत जटिल हो जाता है। ऐसे मामलों में, एक विशेष ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करना आसान होता है जो दशमलव अंश को साधारण अंश में, प्रतिशत में, मिश्रित अंश में, और इसके विपरीत तुरंत परिवर्तित कर देता है।
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